І уровень сложности 1) Найдите длины дуг, на которые разбивают окружность радиуса. Угол между радиусами равен 120°, радиус окружности равен 6 дм. 2) Найдите длину окружности, в которую вписан квадрат со стороной 5 см. II уровень сложности 1) В окружность вписан правильный треугольник с площадью $$12\sqrt{3}$$ см². Найдите длину окружности. 2) Около некоторой окружности описан правильный шестиугольник со стороной $$4\sqrt{3}$$ дм. Вычислите длину дуги данной окружности с градусной мерой 150°.

Разберем задачи по порядку. I уровень сложности 1) Найдем длину дуги, на которую опирается угол в 120°. Длина окружности вычисляется по формуле $$C = 2\pi r$$, где $$r$$ - радиус окружности. В нашем случае $$r = 6$$ дм, значит, длина окружности $$C = 2 \pi \cdot 6 = 12\pi$$ дм. Так как угол 120° составляет $$\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$$ часть окружности, то длина дуги равна $$\frac{1}{3}$$ от длины окружности. Длина дуги: $$\frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$$ дм. Ответ: Длина дуги равна $$4\pi$$ дм. 2) Найдем длину окружности, в которую вписан квадрат со стороной 5 см. Если в квадрат вписана окружность, то диаметр окружности равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр окружности $$d = 5$$ см, а радиус $$r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см. Длина окружности вычисляется по формуле $$C = 2\pi r$$. Длина окружности: $$C = 2 \pi \cdot 2.5 = 5\pi$$ см. Ответ: Длина окружности равна $$5\pi$$ см. II уровень сложности 1) Найдем длину окружности, в которую вписан правильный треугольник с площадью $$12\sqrt{3}$$ см². Площадь правильного (равностороннего) треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ - сторона треугольника. Зная площадь, найдем сторону треугольника: $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$$ $$a^2 = \frac{12\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{3}} = 48$$ $$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$ см. Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника вычисляется по формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где $$a$$ - сторона треугольника. Подставим найденное значение стороны: $$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$$ см. Теперь найдем длину окружности по формуле $$C = 2\pi R$$: $$C = 2 \pi \cdot 4 = 8\pi$$ см. Ответ: Длина окружности равна $$8\pi$$ см. 2) Вычислим длину дуги окружности с градусной мерой 150°, описанной около правильного шестиугольника со стороной $$4\sqrt{3}$$ дм. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне шестиугольника. Следовательно, радиус окружности $$R = 4\sqrt{3}$$ дм. Найдем длину всей окружности по формуле $$C = 2\pi R$$: $$C = 2 \pi \cdot 4\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}$$ дм. Теперь найдем длину дуги, соответствующей углу 150°. Так как вся окружность соответствует 360°, то дуга в 150° составляет $$\frac{150}{360} = \frac{5}{12}$$ часть окружности. Длина дуги: $$\frac{5}{12} \cdot 8\pi\sqrt{3} = \frac{40\pi\sqrt{3}}{12} = \frac{10\pi\sqrt{3}}{3}$$ дм. Ответ: Длина дуги равна $$\frac{10\pi\sqrt{3}}{3}$$ дм.