І уровень сложности Вариант 1 1. Дано: AD = CD, AC ⊥ BD (рис. 2.72). Доказать: ΔАВС – равнобедренный. 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный, АО = СО (рис. 2.73). Доказать: ΔАВО = ΔСВО. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание равно 10 см. Найдите боковую сторону этого треугольника. Вариант 2 1. Дано: Д – середина АС, ∠ADF = 90° (рис. 2.74). Доказать: ΔАВС – равнобедренный. 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный, ВО – биссектриса (рис. 2.75). Доказать: ΔАВО = ΔСВО. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона – 15 см. Найдите основание этого треугольника.

Определим предмет: Геометрия.

Вариант 1

1. Дано: $$AD = CD$$, $$AC \perp BD$$ (рис. 2.72). Доказать: $$\triangle ABC$$ – равнобедренный.

   Для доказательства, что $$\triangle ABC$$ равнобедренный, нужно показать, что $$AB = BC$$. Так как $$AC \perp BD$$, то $$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$$. Рассмотрим $$\triangle ADB$$ и $$\triangle CDB$$:

   • $$AD = CD$$ (по условию)
   • $$BD$$ – общая сторона
   • $$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$$

   Следовательно, $$\triangle ADB = \triangle CDB$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $$AB = BC$$. Значит, $$\triangle ABC$$ – равнобедренный, что и требовалось доказать.

2. Дано: $$\triangle ABC$$ – равнобедренный, $$AO = CO$$ (рис. 2.73). Доказать: $$\triangle ABO = \triangle CBO$$.

   Так как $$\triangle ABC$$ – равнобедренный, то $$AB = BC$$. Рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CBO$$:

   • $$AB = BC$$ (по условию)
   • $$AO = CO$$ (по условию)
   • $$BO$$ – общая сторона

   Следовательно, $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), что и требовалось доказать.

3. Дано: Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание равно 10 см. Найти: боковую сторону этого треугольника.

   Пусть $$P$$ – периметр треугольника, $$a$$ – боковая сторона, $$b$$ – основание. Тогда $$P = 2a + b$$. Из условия $$P = 36$$ см, $$b = 10$$ см. Подставим значения в формулу периметра:

   $$36 = 2a + 10$$

   $$2a = 36 - 10$$

   $$2a = 26$$

   $$a = 13$$

   Боковая сторона равна 13 см.

Вариант 2

1. Дано: $$D$$ – середина $$AC$$, $$\angle ADF = 90^{\circ}$$ (рис. 2.74). Доказать: $$\triangle ABC$$ – равнобедренный.

   Условия недостаточно для доказательства, что $$\triangle ABC$$ - равнобедренный. Не хватает данных о положении точки $$F$$ относительно сторон треугольника.

2. Дано: $$\triangle ABC$$ – равнобедренный, $$BO$$ – биссектриса (рис. 2.75). Доказать: $$\triangle ABO = \triangle CBO$$.

   Так как $$\triangle ABC$$ – равнобедренный, то $$AB = BC$$ и $$\angle BAO = \angle BCO$$. Так как $$BO$$ – биссектриса, то $$\angle ABO = \angle CBO$$. Рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CBO$$:

   • $$AB = BC$$ (по условию)
   • $$\angle ABO = \angle CBO$$ (по условию)
   • $$BO$$ – общая сторона

   Следовательно, $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

3. Дано: Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона – 15 см. Найти: основание этого треугольника.

   Пусть $$P$$ – периметр треугольника, $$a$$ – боковая сторона, $$b$$ – основание. Тогда $$P = 2a + b$$. Из условия $$P = 48$$ см, $$a = 15$$ см. Подставим значения в формулу периметра:

   $$48 = 2 \cdot 15 + b$$

   $$48 = 30 + b$$

   $$b = 48 - 30$$

   $$b = 18$$

   Основание равно 18 см.