И. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к ______, является ______ и ______. Дано: треугольник MPT, PM = PT, PO — биссектриса. Доказать: OM = OT; PO ⟂ MT.

И. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Пусть O — точка пересечения биссектрисы PO с основанием MT. Рассмотрим треугольники MPO и TPO. Имеем PM = PT по условию, PO — общая сторона, ∠MPO = ∠OPT, поскольку PO — биссектриса угла P. Значит, треугольники MPO и TPO равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует OM = OT, поэтому PO — медиана к MT. Также ∠MOP = ∠POT. Эти углы смежные, так как M, O, T лежат на одной прямой; их сумма равна 180°, следовательно, каждый равен 90°. Значит, PO ⟂ MT.