I вариант. 5*. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Поскольку BM — высота к стороне AD, BM ⟂ AD. Треугольник ABM прямоугольный, а ∠ABM = 30°. Сторона AM, лежащая напротив угла 30°, равна 4 см.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · AM = 8 см. Также BM = AM · √3 = 4√3 см.

В ромбе AB = AD = 8 см, и ∠BAD = 90° − 30° = 60°. Диагональ BD — сторона треугольника ABD. По теореме косинусов:

BD² = AB² + AD² − 2 · AB · AD · cos 60° = 64 + 64 − 64 = 64, следовательно, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.