І вариант 1. АВ и АС – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см. 2. Рис. 860. Дано: \(\cup AB : \cup BC = 11:12\). Найти: ∠BCA, ∠BAC. 3. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е так, что МЕ = 12 см, NE = 3 см, РЕ = КЕ. Найдите РК. 4. Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

## Решение задач первого варианта: ### Задача 1 Поскольку AB и AC - отрезки касательных, проведенных к окружности, то радиусы, проведенные в точки касания (точки B и C соответственно), перпендикулярны касательным. Обозначим центр окружности через O. Тогда треугольники ABO и ACO - прямоугольные. Кроме того, AB = AC как отрезки касательных, проведенных из одной точки. AO - общая сторона этих треугольников. Следовательно, треугольники ABO и ACO равны. Значит, AC = AB = 12 см. Для нахождения AO рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем OB = 9 см (радиус), AB = 12 см. По теореме Пифагора: $$AO^2 = AB^2 + BO^2$$ $$AO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$ $$AO = \sqrt{225} = 15$$ Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см. ### Задача 2 Дано, что дуга AB относится к дуге BC как 11:12. Угол AOC центральный и равен 130°. Весь круг составляет 360°. Тогда дуга AC равна 360° - 130° = 230°. Пусть дуга AB = 11x, а дуга BC = 12x. Тогда: $$11x + 12x = 230°$$ $$23x = 230°$$ $$x = 10°$$ Следовательно, дуга AB = 11 * 10° = 110°, а дуга BC = 12 * 10° = 120°. Угол BCA - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, он равен половине дуги AB: $$∠BCA = \frac{1}{2} * 110° = 55°$$ Угол BAC - вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Значит, он равен половине дуги BC: $$∠BAC = \frac{1}{2} * 120° = 60°$$ Ответ: ∠BCA = 55°, ∠BAC = 60°. ### Задача 3 Хорды MN и PK пересекаются в точке E. По свойству пересекающихся хорд: $$ME * NE = PE * KE$$ Дано: ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Пусть PE = KE = x. Тогда: $$12 * 3 = x * x$$ $$36 = x^2$$ $$x = \sqrt{36} = 6$$ Следовательно, PE = KE = 6 см. Тогда длина хорды PK равна: $$PK = PE + KE = 6 + 6 = 12$$ Ответ: PK = 12 см. ### Задача 4 Окружность с центром O и радиусом 16 см описана около треугольника ABC. ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдем стороны AB и BC. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как OA = OB = 16 см (радиусы). Значит, ∠OBA = ∠OAB = 30°. Тогда угол AOB равен: $$∠AOB = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$$ По теореме синусов для треугольника AOB: $$\frac{AB}{\sin{∠AOB}} = \frac{OA}{\sin{∠OBA}}$$ $$\frac{AB}{\sin{120°}} = \frac{16}{\sin{30°}}$$ $$AB = \frac{16 * \sin{120°}}{\sin{30°}} = \frac{16 * (\sqrt{3}/2)}{1/2} = 16\sqrt{3}$$ Теперь рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как OB = OC = 16 см (радиусы). Значит, ∠OBC = ∠OCB = 45°. Тогда угол BOC равен: $$∠BOC = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°$$ По теореме синусов для треугольника BOC: $$\frac{BC}{\sin{∠BOC}} = \frac{OC}{\sin{∠OBC}}$$ $$\frac{BC}{\sin{90°}} = \frac{16}{\sin{45°}}$$ $$BC = \frac{16 * \sin{90°}}{\sin{45°}} = \frac{16 * 1}{\sqrt{2}/2} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2}$$ Ответ: AB = 16√3 см, BC = 16√2 см.