8. Игральные кубики. Игрок бросает несколько игральных кубиков шесть раз подряд, получая следующие суммы очков: 20, 29, 32, 34, 36, 38. При этом ни на одном из кубиков не выпадает дважды одна и та же цифра. Найди количество кубиков.

Приветствую! Давайте решим эту интересную задачу вместе. Задача состоит в том, чтобы определить, сколько кубиков бросал игрок, зная суммы очков, которые он получал, и то, что ни на одном из кубиков не выпадала одна и та же цифра дважды. Рассмотрим условие, что на каждом кубике выпадает разное число очков. Тогда, чтобы получить минимальную сумму очков, нужно, чтобы на каждом кубике выпало минимальное число очков, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Теперь проанализируем суммы очков, которые получал игрок: 20, 29, 32, 34, 36, 38. Заметим, что минимальная сумма равна 20. Попробуем определить минимальное количество кубиков, необходимых для получения такой суммы, при условии, что на каждом кубике выпало разное число очков. Пусть у нас x кубиков. Тогда минимальная сумма очков, которую можно получить, это сумма чисел от 1 до x. Запишем это в виде формулы: $$S_{min} = 1 + 2 + 3 + ... + x = \frac{x(x+1)}{2}$$ Теперь попробуем найти такое минимальное x, чтобы $$S_{min}$$ было меньше или равно 20: Если $$x = 5$$, то $$S_{min} = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5*6}{2} = 15$$. Это меньше 20. Если $$x = 6$$, то $$S_{min} = \frac{6(6+1)}{2} = \frac{6*7}{2} = 21$$. Это больше 20. Значит, нам нужно минимум 6 кубиков, чтобы получить сумму 20. Теперь проверим, можно ли получить остальные суммы, используя 6 кубиков. Максимальная сумма, которую можно получить, используя 6 кубиков, это когда на каждом кубике выпало 6 очков, то есть 6 * 6 = 36. Но у нас есть сумма 38, а также другие суммы, которые больше 36, значит, 6 кубиков недостаточно. Теперь попробуем 7 кубиков. Минимальная сумма для 7 кубиков: $$S_{min} = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7*8}{2} = 28$$. Максимальная сумма для 7 кубиков: 7 * 6 = 42. Все наши суммы (20, 29, 32, 34, 36, 38) лежат в этом диапазоне (28, 42), значит 7 кубиков может быть достаточно. Но у нас есть сумма 20, которая меньше минимально возможной суммы 28 для 7 кубиков. Следовательно, 7 кубиков недостаточно. Теперь попробуем 8 кубиков. Минимальная сумма для 8 кубиков: $$S_{min} = \frac{8(8+1)}{2} = \frac{8*9}{2} = 36$$. Максимальная сумма для 8 кубиков: 8 * 6 = 48. Сумма 20 всё ещё меньше минимально возможной суммы 36 для 8 кубиков. Рассуждая таким образом, можно сделать вывод, что 20 - это минимальная сумма, а 38 - максимальная. Тогда должно выполняться условие: $$n*1 <= 20$$ и $$n*6 >=38$$, где n - количество кубиков. Из первого неравенства следует, что $$n<=20$$, а из второго, что $$n>= 38/6 approx 6.33$$. Теперь давайте разберем еще раз. У нас есть 6 бросков кубиков, и все суммы разные, то есть значения от 20 до 38. Предположим, что у нас 7 кубиков. Тогда у нас есть 7 чисел от 1 до 6. 20 - минимальная сумма. 38 - максимальная сумма. Если у нас x кубиков, то минимальная сумма - это $$1+2+3+...+x$$. А максимальная сумма - это $$6x$$ Тогда: $$rac{x(x+1)}{2} <= 20$$, а $$6x >= 38$$ $$x(x+1) <= 40$$, a $$x >= 38/6 = 6,(3)$$ При $$x=6$$, $$x(x+1) = 6*7=42 > 40$$. Не подходит При $$x=7$$, $$rac{x(x+1)}{2} = rac{7*8}{2} = 28 > 20$$. 38/6 = 6,33 => x >= 7. Подходит, $$6*7 = 42$$. 38 <= 42. 7 кубиков возможно. Но, у нас 6 сумм. $$20, 29, 32, 34, 36, 38$$. Минимальная сумма $$1+2+3+4+5+6 = 21$$. Значит кубиков должно быть больше 6. Возьмем 7. Максимум $$7*6 = 42$$ Итого, количество кубиков равно 7. Ответ: 7