II.6. Упростить выражения: (9y/x−9y/(x+y)) · ((x+y)/(3y))²; (4x−12x/(x−2)) : (x−(8x−25)/(x−2)).

1. Приведём разность дробей к общему знаменателю, затем сократим:

   \(\left(\dfrac{9y}{x}-\dfrac{9y}{x+y}\right)\cdot\left(\dfrac{x+y}{3y}\right)^2=\dfrac{9y(x+y)-9yx}{x(x+y)}\cdot\dfrac{(x+y)^2}{9y^2}=\dfrac{9y^2}{x(x+y)}\cdot\dfrac{(x+y)^2}{9y^2}=\dfrac{x+y}{x}\).

   Ограничения: \(x\ne0\), \(x+y\ne0\), \(y\ne0\).

2. Упростим делимое и делитель, учитывая, что деление заменяется умножением на обратную дробь:

   \(4x-\dfrac{12x}{x-2}=\dfrac{4x(x-2)-12x}{x-2}=\dfrac{4x(x-5)}{x-2}\).

   \(x-\dfrac{8x-25}{x-2}=\dfrac{x(x-2)-(8x-25)}{x-2}=\dfrac{(x-5)^2}{x-2}\).

   Тогда

   \(\left(4x-\dfrac{12x}{x-2}\right):\left(x-\dfrac{8x-25}{x-2}\right)=\dfrac{4x(x-5)}{x-2}\cdot\dfrac{x-2}{(x-5)^2}=\dfrac{4x}{x-5}\).

   Ограничения: \(x\ne2\), \(x\ne5\); при \(x=5\) делитель равен нулю.

Ответ: \(\dfrac{x+y}{x};\ \dfrac{4x}{x-5}\), с указанными ограничениями.