ІІ вариант 1. MN и MK - отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см. 2. Рис. 861. Дано: ◡AB : ◡AC=5:3. Найти: ∠BOC, ∠ABC. 3. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD. 4. Окружность с центром O и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Рассмотрим каждую задачу отдельно.

Задача 1

MN и MK - отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см.

Так как MN и MK - касательные к окружности, то радиусы, проведенные в точки касания (ON и OK), перпендикулярны касательным (MN и MK соответственно). Таким образом, треугольники MNO и MKO прямоугольные.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNO (или MKO, они равны). ON - радиус (5 см), MO = 13 см. По теореме Пифагора:

$$MN^2 + ON^2 = MO^2$$

$$MN^2 = MO^2 - ON^2$$

$$MN^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

$$MN = \sqrt{144} = 12$$

Так как MN и MK - отрезки касательных, проведенных из одной точки, то MN = MK = 12 см.

Ответ: MN = 12 см, MK = 12 см

Задача 2

Рис. 861. Дано: ◡AB : ◡AC=5:3. Найти: ∠BOC, ∠ABC.

Пусть ◡AB = 5x, а ◡AC = 3x. Тогда вся окружность ◡AB + ◡AC + ◡BC = 360°. Найдем ◡BC. ◡BC = 360° - ◡AB - ◡AC = 360° - 5x - 3x = 360° - 8x.

∠A = 60° (дано на рисунке). Угол А - вписанный, следовательно, дуга, на которую он опирается, в два раза больше угла А. ◡BC = 2 * ∠A = 2 * 60° = 120°.

Тогда, 360° - 8x = 120°, 8x = 360° - 120° = 240°, x = 240° / 8 = 30°.

◡AB = 5x = 5 * 30° = 150°.

◡AC = 3x = 3 * 30° = 90°.

∠BOC - центральный угол, опирается на дугу BC, значит, равен дуге BC. ∠BOC = ◡BC = 120°.

∠ABC - вписанный угол, опирается на дугу AC, значит, равен половине дуги AC. ∠ABC = ◡AC / 2 = 90° / 2 = 45°.

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°

Задача 3

Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

По свойству пересекающихся хорд: AF * BF = CF * DF. Так как CF = DF, то AF * BF = CF².

4 * 16 = CF², CF² = 64, CF = √64 = 8 см.

CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 см.

Ответ: CD = 16 см

Задача 4

Окружность с центром O и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.

В треугольнике MON: MN² = MO² + ON² - 2 * MO * ON * cos(∠MON). MO = ON = R = 12 см. ∠MON = 120°.

$$MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 * 12 * 12 * cos(120°)$$

$$MN^2 = 144 + 144 - 288 * (-1/2)$$

$$MN^2 = 288 + 144 = 432$$

$$MN = \sqrt{432} = \sqrt{144 * 3} = 12\sqrt{3}$$

В треугольнике NOK: NK² = NO² + OK² - 2 * NO * OK * cos(∠NOK). NO = OK = R = 12 см. ∠NOK = 90°.

$$NK^2 = 12^2 + 12^2 - 2 * 12 * 12 * cos(90°)$$

$$NK^2 = 144 + 144 - 288 * 0 = 288$$

$$NK = \sqrt{288} = \sqrt{144 * 2} = 12\sqrt{2}$$

Ответ: MN = $$12\sqrt{3}$$ см, NK = $$12\sqrt{2}$$ см