III) Тригонометрические уравнения Задание 8.1. а) Решите уравнение 4cos^2x+4sinx-1=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

а) Решим уравнение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 4(1 - \sin^2x) + 4\sin x - 1 = 0 \]

\[ 4 - 4\sin^2x + 4\sin x - 1 = 0 \]

\[ -4\sin^2x + 4\sin x + 3 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4\sin^2x - 4\sin x - 3 = 0 \]

Пусть \( y = \sin x \). Тогда:

\[ 4y^2 - 4y - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

\[ y_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Возвращаемся к замене \( y = \sin x \):

\( \sin x = \frac{3}{2} \) — решений нет, так как \( \frac{3}{2} > 1 \).

\( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Общее решение: \( x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n \)

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Рассмотрим два случая:

1. \( n \) — чётное, \( n = 2k \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi (2k) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \), чтобы попасть в отрезок \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \) (или \( [1.57; 7.85] \)):

При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \). \( \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 \). Это значение входит в отрезок.

При \( k = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{6} \) — не входит.

При \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \) — не входит.

2. \( n \) — нечётное, \( n = 2k + 1 \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k+1} (-\frac{\pi}{6}) + \pi (2k + 1) = -1(-\frac{\pi}{6}) + \pi (2k + 1) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \):

При \( k = 0 \): \( x = \frac{7\pi}{6} \). \( \frac{7\pi}{6} \approx 3.66 \). Это значение входит в отрезок.

При \( k = 1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \). \( \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 \) — не входит.

При \( k = -1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \) — не входит.

Ответ: а) \( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \).