Задание 8.4. а) Решите уравнение 8cos²x-6sinx-3=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Решение:

а) Решим уравнение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 8(1 - \sin^2x) - 6\sin x - 3 = 0 \]

\[ 8 - 8\sin^2x - 6\sin x - 3 = 0 \]

\[ -8\sin^2x - 6\sin x + 5 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 8\sin^2x + 6\sin x - 5 = 0 \]

Пусть \( y = \sin x \). Тогда:

\[ 8y^2 + 6y - 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4} \]

Возвращаемся к замене \( y = \sin x \):

\( \sin x = -\frac{5}{4} \) — решений нет, так как \( -\frac{5}{4} < -1 \).

\( \sin x = \frac{1}{2} \)

Общее решение: \( x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \)

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Отрезок \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \) соответствует \( [7.85; 12.57] \).

Рассмотрим два случая:

1. \( n \) — чётное, \( n = 2k \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \), чтобы попасть в отрезок \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \) (или \( [7.85; 12.57] \)):

При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \) — не входит.

При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} \approx 13.09 \) — не входит.

При \( k = 3 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{37\pi}{6} \) — не входит.

2. \( n \) — нечётное, \( n = 2k + 1 \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \) в отрезок \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \):

При \( k = 2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{29\pi}{6} \approx 15.18 \) — не входит.

При \( k = 1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). \( \frac{17\pi}{6} \approx 8.90 \). Это значение входит в отрезок.

При \( k = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \) — не входит.

Ответ: а) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( \frac{17\pi}{6} \).