илет 4. Определение и свойство смежных углов (формулировка). Доказать теорему о сумме углов треугольника. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах.

Решение:

1. Поиск боковой стороны равнобедренного треугольника:
   1. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
   2. Пусть боковая сторона равна x.
   3. Периметр = основание + 2 * боковая сторона.
   4. 19 см = 7 см + 2x.
   5. 2x = 19 см - 7 см = 12 см.
   6. x = 12 см / 2 = 6 см.
2. Поиск угла АОС:
   1. Сначала найдем углы треугольника ABC.
   2. Внешний угол при вершине B равен 102°, значит, \[ \angle ABC = 180° - 102° = 78° \]
   3. Сумма углов треугольника ABC равна 180°.
   4. \[ \angle BAC + \angle BCA = 180° - \angle ABC = 180° - 78° = 102° \]
   5. AO - биссектриса угла A, CO - биссектриса угла C.
   6. Следовательно, \[ \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} \] \[ \angle OCA = \frac{\angle BCA}{2} \]
   7. В треугольнике AOC: \[ \angle AOC = 180° - \angle OAC - \angle OCA \]
   8. \[ \angle AOC = 180° - \frac{\angle BAC}{2} - \frac{\angle BCA}{2} \] \[ \angle AOC = 180° - \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle BCA) \]
   9. Подставляем значение суммы углов BAC и BCA:
   10. \[ \angle AOC = 180° - \frac{1}{2} (102°) \] \[ \angle AOC = 180° - 51° = 129° \]

Ответ: Боковая сторона равна 6 см. Величина угла АОС равна 129°.