13) Илья задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 96. Какое число задумал Илья? Объясните решение.

Пусть $$x$$ - задуманное число. Пусть это двузначное число, тогда его можно представить как $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа. Сумма цифр равна $$a + b$$. По условию, $$x + (a + b) = 96$$. Подставим выражение для $$x$$: $$10a + b + a + b = 96$$ $$11a + 2b = 96$$ Теперь нужно найти такие целые значения $$a$$ и $$b$$ (где $$1 \le a \le 9$$ и $$0 \le b \le 9$$), которые удовлетворяют этому уравнению. Попробуем разные значения $$a$$: * Если $$a = 1$$, то $$11 + 2b = 96$$, $$2b = 85$$, $$b = 42.5$$ (не подходит, так как $$b$$ не целое) * Если $$a = 2$$, то $$22 + 2b = 96$$, $$2b = 74$$, $$b = 37$$ (не подходит, так как $$b > 9$$) * Если $$a = 3$$, то $$33 + 2b = 96$$, $$2b = 63$$, $$b = 31.5$$ (не подходит, так как $$b$$ не целое) * Если $$a = 4$$, то $$44 + 2b = 96$$, $$2b = 52$$, $$b = 26$$ (не подходит, так как $$b > 9$$) * Если $$a = 5$$, то $$55 + 2b = 96$$, $$2b = 41$$, $$b = 20.5$$ (не подходит, так как $$b$$ не целое) * Если $$a = 6$$, то $$66 + 2b = 96$$, $$2b = 30$$, $$b = 15$$ (не подходит, так как $$b > 9$$) * Если $$a = 7$$, то $$77 + 2b = 96$$, $$2b = 19$$, $$b = 9.5$$ (не подходит, так как $$b$$ не целое) * Если $$a = 8$$, то $$88 + 2b = 96$$, $$2b = 8$$, $$b = 4$$ (подходит!) Итак, $$a = 8$$ и $$b = 4$$, значит, задуманное число $$x = 10a + b = 10 \cdot 8 + 4 = 84$$. Проверка: $$84 + 8 + 4 = 96$$. **Ответ: 84**