17) Илья задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 96. Какое число задумал Илья? Объясните решение.

Представим задуманное число как $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры, то есть целые числа от 0 до 9 включительно. Сумма цифр этого числа равна $$a + b$$. По условию задачи, если к задуманному числу прибавить сумму его цифр, то получится 96. Запишем это в виде уравнения: $$10a + b + a + b = 96$$ Упростим уравнение: $$11a + 2b = 96$$ Выразим $$2b$$: $$2b = 96 - 11a$$ Так как $$2b$$ - четное число, то и $$96 - 11a$$ должно быть четным. Это возможно, только если $$11a$$ - четное число, а значит, и $$a$$ должно быть четным. Переберем возможные значения для $$a$$: 0, 2, 4, 6, 8. Если $$a = 0$$, то $$2b = 96$$, значит $$b = 48$$. Но $$b$$ должно быть цифрой, поэтому этот вариант не подходит. Если $$a = 2$$, то $$2b = 96 - 11 * 2 = 96 - 22 = 74$$, значит $$b = 37$$. Этот вариант также не подходит. Если $$a = 4$$, то $$2b = 96 - 11 * 4 = 96 - 44 = 52$$, значит $$b = 26$$. Этот вариант также не подходит. Если $$a = 6$$, то $$2b = 96 - 11 * 6 = 96 - 66 = 30$$, значит $$b = 15$$. Этот вариант также не подходит. Если $$a = 8$$, то $$2b = 96 - 11 * 8 = 96 - 88 = 8$$, значит $$b = 4$$. Этот вариант подходит. Таким образом, $$a = 8$$ и $$b = 4$$. Задуманное число равно $$10a + b = 10 * 8 + 4 = 84$$. Проверим: $$84 + 8 + 4 = 84 + 12 = 96$$. Все верно. Ответ: 84