57. Имеет ли корни многочлен: a) x² + 1; б) х³ – 27; в) -2у⁶ – 1; г) у⁴ + 3y² +7?

1. a) \[ x^2 + 1 = 0 \] \( x^2 = -1 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
2. б) \[ x^3 - 27 = 0 \] \( x^3 = 27 \). Корень этого уравнения \( x = 3 \).
3. в) \[ -2y^6 - 1 = 0 \] \( -2y^6 = 1 \). \( y^6 = -\frac{1}{2} \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.
4. г) \[ y^4 + 3y^2 + 7 = 0 \] Пусть \( z = y^2 \), тогда уравнение примет вид: \[ z^2 + 3z + 7 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4(1)(7) = 9 - 28 = -19 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: a) нет; б) да; в) нет; г) нет