7. Имеет ли решение система и сколько? 1 x-y=2 2x+3y=5 ↓ Единственное решение 0,2x+0,3y=1 2x+3y=10 -x+4y=3 2x-8y=1 Бесконечно много Система не имеет решений 0,7x+y=3 1,4x+2y=6 0,5x-0,3y=2 x+0,9y=1 0,1x-y=0,2 0,3x-3y=5

Решение:

• Первая система уравнений: \[\begin{cases} \frac{1}{6}x - y = 2 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 6: \[\begin{cases} x - 6y = 12 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым: \[\begin{cases} -2x + 12y = -24 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[15y = -19 \Rightarrow y = -\frac{19}{15}\] Подставим \(y\) в первое уравнение: \[x = 6y + 12 = 6 \cdot \left(-\frac{19}{15}\right) + 12 = -\frac{38}{5} + 12 = \frac{-38 + 60}{5} = \frac{22}{5}\] Система имеет единственное решение.

• Вторая система уравнений: \[\begin{cases} 0.2x + 0.3y = 1 \\ 2x + 3y = 10 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 10: \[\begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ 2x + 3y = 10 \end{cases}\] Оба уравнения идентичны. Система имеет бесконечно много решений.

• Третья система уравнений: \[\begin{cases} -x + 4y = 3 \\ 2x - 8y = 1 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} -2x + 8y = 6 \\ 2x - 8y = 1 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[0 = 7\] Система не имеет решений.

• Четвертая система уравнений: \[\begin{cases} 0.7x + y = 3 \\ 1.4x + 2y = 6 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 1.4x + 2y = 6 \\ 1.4x + 2y = 6 \end{cases}\] Оба уравнения идентичны. Система имеет бесконечно много решений.

• Пятая система уравнений: \[\begin{cases} 0.5x - 0.3y = 2 \\ x + 0.9y = 1 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} x - 0.6y = 4 \\ x + 0.9y = 1 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \[1.5y = -3 \Rightarrow y = -2\] Подставим \(y\) во второе уравнение: \[x + 0.9 \cdot (-2) = 1 \Rightarrow x = 1 + 1.8 = 2.8\] Система имеет единственное решение.

• Шестая система уравнений: \[\begin{cases} 0.1x - y = 0.2 \\ 0.3x - 3y = 5 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 3: \[\begin{cases} 0.3x - 3y = 0.6 \\ 0.3x - 3y = 5 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \[0 = 4.4\] Система не имеет решений.