In the second image, a triangle MQT is inscribed in a circle with center O. MN is perpendicular to QT at point N. The length MN is given as 8. The length MQ is marked as 12. The question asks for the length of QO.

Пошаговое решение:

1. Поскольку MN перпендикулярно QT, N является серединой хорды QT.
2. MQ = 12 (данное значение).
3. MN = 8 (данное значение).
4. В прямоугольном треугольнике MNQ, по теореме Пифагора: \( QN^2 + MN^2 = MQ^2 \)
5. \( QN^2 + 8^2 = 12^2 \)
6. \( QN^2 + 64 = 144 \)
7. \( QN^2 = 144 - 64 \)
8. \( QN^2 = 80 \)
9. \( QN = √{80} = 4√{5} \)
10. QT = 2 * QN = \( 8√{5} \)
11. Пусть R — радиус окружности, тогда QO = RO = MO = R.
12. По теореме о хордах, пересекающихся внутри окружности: \( AN ∕ ON = QN ∕ TN \) (Это применимо, если бы пересекались две хорды).
13. Другой подход: По свойству пересекающихся хорд, если две хорды пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
14. Рассмотрим прямоугольный треугольник QNO. \( QN^2 + ON^2 = QO^2 \)
15. Мы знаем QN = \( 4√{5} \).
16. Нам нужно найти ON.
17. MO = R, MN = 8.
18. Если O находится между M и N, то ON = MO - MN = R - 8.
19. Если N находится между M и O, то ON = MN - MO = 8 - R. (Это нелогично, так как O - центр, M - точка на окружности).
20. Предположим, что M, N, O лежат на одной линии.
21. \( (4√{5})^2 + (R-8)^2 = R^2 \)
22. \( 80 + R^2 - 16R + 64 = R^2 \)
23. \( 80 + 64 = 16R \)
24. \( 144 = 16R \)
25. \( R = 144 / 16 \)
26. \( R = 9 \)
27. QO = R = 9.

Ответ: QO = 9