Интеграл $$\int \frac{dx}{(x+3)(x^2-4)}$$ равен сумме интегралов

Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$. Тогда подынтегральное выражение можно представить в виде суммы простых дробей:

$$\frac{1}{(x+3)(x^2-4)} = \frac{1}{(x+3)(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+3)(x-2)(x+2)$$:

$$1 = A(x-2)(x+2) + B(x+3)(x+2) + C(x+3)(x-2)$$

Теперь найдем коэффициенты A, B и C, подставляя различные значения x:

• Пусть $$x = -3$$. Тогда $$1 = A(-3-2)(-3+2) + B(0) + C(0) \Rightarrow 1 = A(-5)(-1) \Rightarrow 1 = 5A \Rightarrow A = \frac{1}{5}$$
• Пусть $$x = 2$$. Тогда $$1 = A(0) + B(2+3)(2+2) + C(0) \Rightarrow 1 = B(5)(4) \Rightarrow 1 = 20B \Rightarrow B = \frac{1}{20}$$
• Пусть $$x = -2$$. Тогда $$1 = A(0) + B(0) + C(-2+3)(-2-2) \Rightarrow 1 = C(1)(-4) \Rightarrow 1 = -4C \Rightarrow C = -\frac{1}{4}$$

Таким образом, интеграл можно представить в виде:

$$\int \frac{dx}{(x+3)(x^2-4)} = \int \frac{\frac{1}{5}}{x+3}dx + \int \frac{\frac{1}{20}}{x-2}dx + \int \frac{-\frac{1}{4}}{x+2}dx = \frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+3} + \frac{1}{20}\int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+2}$$

Следовательно, правильный вариант ответа:

$$\int \frac{Adx}{x+3} + \int \frac{Bdx}{x-2} + \int \frac{Cdx}{x+2}$$