Интеграл $$\int \frac{dx}{(x+1)(x-5)}$$ равен

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Представим дробь $$\frac{1}{(x+1)(x-5)}$$ в виде суммы двух дробей: $$\frac{1}{(x+1)(x-5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5}$$ Чтобы найти коэффициенты A и B, приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{1}{(x+1)(x-5)} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$$ Приравняем числители: $$1 = A(x-5) + B(x+1)$$ Теперь найдем значения A и B, подставляя удобные значения x. 1. Пусть $$x = 5$$. Тогда: $$1 = A(5-5) + B(5+1) \Rightarrow 1 = 6B \Rightarrow B = \frac{1}{6}$$ 2. Пусть $$x = -1$$. Тогда: $$1 = A(-1-5) + B(-1+1) \Rightarrow 1 = -6A \Rightarrow A = -\frac{1}{6}$$ Итак, мы нашли, что $$A = -\frac{1}{6}$$ и $$B = \frac{1}{6}$$. Теперь мы можем переписать интеграл: $$\int \frac{dx}{(x+1)(x-5)} = \int \left( -\frac{1}{6(x+1)} + \frac{1}{6(x-5)} \right) dx$$ Разделим интеграл на два: $$= -\frac{1}{6} \int \frac{dx}{x+1} + \frac{1}{6} \int \frac{dx}{x-5}$$ Теперь найдем интегралы: $$= -\frac{1}{6} \ln|x+1| + \frac{1}{6} \ln|x-5| + C$$ Вынесем $$\frac{1}{6}$$ за скобки: $$= \frac{1}{6} ( \ln|x-5| - \ln|x+1| ) + C$$ Используем свойство логарифмов $$\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$$: $$= \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-5}{x+1} \right| + C$$ Таким образом, $$\int \frac{dx}{(x+1)(x-5)} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-5}{x+1} \right| + C = \int \frac{-\frac{1}{6}dx}{x+1} + \int \frac{\frac{1}{6}dx}{x-5}$$. Из вариантов ответа, представленных на изображении, подходит вариант: $$\int \frac{Adx}{x+1} + \int \frac{dx}{x-5}$$, где A = -1/6, следовательно, вариант: $$\int \frac{Bdx}{x+1} + \int \frac{Adx}{x-5}$$, где A = 1/6, B = -1/6. Ответ: $$\int \frac{Adx}{x+1} + \int \frac{Bdx}{x-5}$$