Интеграл $$\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx$$ равен

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Пусть $$u = x^3 + 1$$. Тогда $$du = 3x^2 dx$$, и $$x^2 dx = \frac{1}{3} du$$. Теперь мы можем переписать интеграл в терминах $$u$$: $$\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$$ Интеграл от $$\frac{1}{u}$$ равен натуральному логарифму $$\ln|u|$$, поэтому: $$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C$$ Теперь возвращаемся к переменной $$x$$, подставляя $$x^3 + 1$$ вместо $$u$$: $$\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C$$ Таким образом, интеграл равен $$\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C$$. Ответ: $$\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C$$