Интеграл $$\int \frac{x dx}{x^2+1}$$ равен чему из предложенных вариантов?

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть $$u = x^2 + 1$$. Тогда производная $$du$$ будет равна $$2x dx$$. Отсюда выразим $$x dx$$: $$x dx = \frac{1}{2} du$$.

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах новой переменной $$u$$:

$$\int \frac{x dx}{x^2 + 1} = \int \frac{\frac{1}{2} du}{u} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$$

Интеграл от $$\frac{1}{u}$$ равен натуральному логарифму $$\ln|u|$$. Поэтому:

$$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C$$

Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$, подставив $$x^2 + 1$$ вместо $$u$$:

$$\frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C$$

Так как $$x^2 + 1$$ всегда положительно, мы можем опустить знак модуля.

Ответ: $$\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C$$