Интеграл $$\int cos^2 2x dx$$ равен чему?

Чтобы найти интеграл $$\int cos^2(2x) dx$$, нам нужно использовать формулу понижения степени для косинуса. Формула выглядит следующим образом: $$cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$$ Применим эту формулу к нашему интегралу: $$\int cos^2(2x) dx = \int \frac{1 + cos(4x)}{2} dx$$ Теперь мы можем разделить интеграл на две части: $$\int \frac{1 + cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int cos(4x) dx$$ Интегрируем каждую часть: $$\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2}x + C_1$$ Для интеграла с косинусом, вспомним, что $$\int cos(ax) dx = \frac{1}{a} sin(ax) + C$$: $$\frac{1}{2} \int cos(4x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} sin(4x) + C_2 = \frac{1}{8} sin(4x) + C_2$$ Теперь сложим результаты: $$\frac{1}{2}x + \frac{1}{8} sin(4x) + C$$ Таким образом, интеграл равен: $$\int cos^2(2x) dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} sin(4x) + C$$ Ответ: $$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} sin(4x) + C$$