Интеграл $$\int_{0}^{2} \sqrt[5]{4x^3} dx$$ равен

Для решения данного интеграла необходимо выполнить следующие шаги: 1. Представить корень в виде степени: $$\sqrt[5]{4x^3} = (4x^3)^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}}x^{\frac{3}{5}}$$ 2. Вынести константу за знак интеграла: $$\int_{0}^{2} 4^{\frac{1}{5}}x^{\frac{3}{5}} dx = 4^{\frac{1}{5}} \int_{0}^{2} x^{\frac{3}{5}} dx$$ 3. Найти первообразную функции: Для функции $$x^{\frac{3}{5}}$$ первообразная равна: $$\int x^{\frac{3}{5}} dx = \frac{x^{\frac{3}{5}+1}}{\frac{3}{5}+1} = \frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}}$$ 4. Вычислить определенный интеграл: $$\int_{0}^{2} x^{\frac{3}{5}} dx = \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} \Big|_{0}^{2} = \frac{5}{8}(2^{\frac{8}{5}} - 0^{\frac{8}{5}}) = \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{8}{5}}$$ 5. Учесть константу, вынесенную за знак интеграла: $$4^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = 2^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{2}{5} + \frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{10}{5}} = \frac{5}{8} \cdot 2^2 = \frac{5}{8} \cdot 4 = \frac{5}{2}$$ Ответ: 5/2