Интеграл $$\int_{-1}^{1} \sqrt[3]{x^2} dx$$ равен чему из предложенных вариантов: 0, $$rac{6}{5}$$, $$\frac{-6}{5}$$, $$rac{3}{5}$$?

Для вычисления интеграла $$\int_{-1}^{1} \sqrt[3]{x^2} dx$$, сначала преобразуем подынтегральную функцию: $$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$$. Теперь вычислим интеграл: $$\int_{-1}^{1} x^{\frac{2}{3}} dx$$ Применим формулу интеграла от степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$, где C - константа интегрирования. В нашем случае, $$n = \frac{2}{3}$$, поэтому: $$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$$ Теперь вычислим определенный интеграл в пределах от -1 до 1: $$\int_{-1}^{1} x^{\frac{2}{3}} dx = \left[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} \right]_{-1}^{1} = \frac{3}{5}(1^{\frac{5}{3}}) - \frac{3}{5}((-1)^{\frac{5}{3}})$$ Так как $$1^{\frac{5}{3}} = 1$$ и $$(-1)^{\frac{5}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^5 = (-1)^5 = -1$$, получим: $$\frac{3}{5}(1) - \frac{3}{5}(-1) = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$$ Ответ: $$\frac{6}{5}$$