Интеграл ∫x cos(2x) dx равен

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы разберем, как решить интеграл ∫x cos(2x) dx. Это задача на интегрирование по частям. **1. Вспоминаем формулу интегрирования по частям:** ∫u dv = uv - ∫v du **2. Определяем u и dv:** В нашем случае удобно выбрать: * u = x (потому что производная от x проще, чем x) * dv = cos(2x) dx **3. Находим du и v:** * du = dx (производная от u = x) * v = ∫cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) (интеграл от dv = cos(2x) dx. Важно не забыть про коэффициент 1/2, так как у нас cos(2x), а не просто cos(x)) **4. Применяем формулу интегрирования по частям:** ∫x cos(2x) dx = x * (1/2)sin(2x) - ∫(1/2)sin(2x) dx **5. Вычисляем оставшийся интеграл:** ∫(1/2)sin(2x) dx = (1/2) * ∫sin(2x) dx = (1/2) * (-1/2)cos(2x) = - (1/4)cos(2x) (Опять не забываем про коэффициент 1/2 при интегрировании sin(2x)) **6. Подставляем полученный результат обратно:** ∫x cos(2x) dx = (1/2)x sin(2x) - (- (1/4)cos(2x)) ∫x cos(2x) dx = (1/2)x sin(2x) + (1/4)cos(2x) + C **7. Итоговый ответ:** ∫x cos(2x) dx = (1/2)x sin(2x) + (1/4)cos(2x) + C Таким образом, правильный ответ: **(1/2)x sin(2x) + (1/4)cos(2x) + C** Развернутый ответ для школьника: Представь, что у тебя есть сложный интеграл, который напрямую не решается. Тогда можно использовать метод интегрирования по частям, чтобы его упростить. Этот метод как бы "перебрасывает" часть сложности с одной функции на другую, делая интеграл более легким для вычисления. Важно правильно выбрать, какую функцию обозначить за u, а какую за dv, чтобы упрощение получилось эффективным. В данном случае мы выбрали x за u, потому что при взятии производной она становится просто 1, а cos(2x) за dv. Потом мы находим интеграл от dv, чтобы получить v, и производную от u, чтобы получить du. Подставляем все это в формулу и вычисляем новый, более простой интеграл. Не забываем добавить константу интегрирования C, потому что интеграл неопределенный.