Интеграл $$\int x^2 \ln x dx$$ равен?

Давайте решим интеграл $$\int x^2 \ln x dx$$ по частям. Мы используем формулу интегрирования по частям: $$\int u dv = uv - \int v du$$. Пусть $$u = \ln x$$ и $$dv = x^2 dx$$. Тогда $$du = \frac{1}{x} dx$$ и $$v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$. Теперь подставим это в формулу интегрирования по частям: $$\int x^2 \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$$ Теперь вычислим интеграл $$\int x^2 dx$$: $$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$$. Подставим это обратно в наше выражение: $$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$$ Таким образом, интеграл равен $$\frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$$. Ответ: $$\frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$$