Интеграл $$int rac{dx}{x^2+3x+2}$$ равен

Предмет: Математика.

Для решения данного интеграла, необходимо разложить подынтегральную функцию на простые дроби. Выражение (x^2 + 3x + 2) можно разложить на множители как ((x+1)(x+2)). Таким образом, ищем представление:

$$rac{1}{x^2+3x+2} = rac{1}{(x+1)(x+2)} = rac{A}{x+1} + rac{B}{x+2}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$1 = A(x+2) + B(x+1)$$

Чтобы найти A и B, можно использовать различные значения (x).

1. Если (x = -1): $$1 = A(-1+2) + B(-1+1) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1$$
2. Если (x = -2): $$1 = A(-2+2) + B(-2+1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1$$

Таким образом, интеграл можно переписать как:

$$int rac{dx}{x^2+3x+2} = int left(rac{1}{x+1} - rac{1}{x+2} ight) dx$$

Этот интеграл легко вычислить, используя стандартные интегралы:

$$int rac{1}{x+1} dx = ln|x+1| + C_1$$$$int rac{1}{x+2} dx = ln|x+2| + C_2$$

Следовательно,

$$int left(rac{1}{x+1} - rac{1}{x+2} ight) dx = ln|x+1| - ln|x+2| + C$$

Используя свойство логарифмов (ln a - ln b = ln rac{a}{b}), получаем:

$$ln|x+1| - ln|x+2| = lnleft|rac{x+1}{x+2} ight| + C$$

Ни один из представленных ответов не соответствует полученному решению.

Однако, если посмотреть на предложенные ответы, можно предположить, что правильным ответом может быть $$ln(x^2+3x+2) + C$$, но это справедливо только если учитывать, что $$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$$, а интеграл $$ \int \frac{dx}{x^2+3x+2} = \int \frac{dx}{(x+1)(x+2)} $$.

Окончательный ответ:

$$\ln\left|\frac{x+1}{x+2}\right| + C$$