Интеграл $$int rac{dx}{(x+1)(x-5)}$$ равен

Для решения данного интеграла воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Представим подынтегральную функцию в виде: $$rac{1}{(x+1)(x-5)} = rac{A}{x+1} + rac{B}{x-5}$$ Умножим обе части уравнения на $$(x+1)(x-5)$$: $$1 = A(x-5) + B(x+1)$$ Чтобы найти A и B, подставим удобные значения x: 1. Пусть $$x = -1$$: $$1 = A(-1-5) + B(-1+1) \ 1 = -6A \ A = -rac{1}{6}$$ 2. Пусть $$x = 5$$: $$1 = A(5-5) + B(5+1) \ 1 = 6B \ B = rac{1}{6}$$ Теперь мы можем записать интеграл в виде: $$int rac{dx}{(x+1)(x-5)} = int left( -rac{1}{6(x+1)} + rac{1}{6(x-5)} ight) dx$$ Вынесем постоянные коэффициенты за знак интеграла: $$= -rac{1}{6} int rac{dx}{x+1} + rac{1}{6} int rac{dx}{x-5}$$ Интегралы имеют вид $$int rac{dx}{x+a} = ln|x+a| + C$$, поэтому получаем: $$= -rac{1}{6} ln|x+1| + rac{1}{6} ln|x-5| + C$$ Теперь объединим логарифмы: $$= rac{1}{6} left( ln|x-5| - ln|x+1| ight) + C$$ Используем свойство логарифмов $$ln a - ln b = ln rac{a}{b}$$: $$= rac{1}{6} lnleft| rac{x-5}{x+1} ight| + C$$ Теперь рассмотрим предложенные варианты ответов. Первый вариант: $$int rac{Adx}{x+1} + int rac{Bdx}{x-5} = Aln|x+1| + Bln|x-5| + C$$ Подставляем $$A = -rac{1}{6}$$ и $$B = rac{1}{6}$$: $$-rac{1}{6}ln|x+1| + rac{1}{6}ln|x-5| + C$$ Что соответствует нашему решению. Второй вариант: $$ln|x+1| + ln|x-5| + C$$ Это не соответствует нашему решению. Третий вариант: $$int rac{(Bx+C)dx}{x-5}$$ Это не соответствует нашему решению. Четвертый вариант: $$int rac{Adx}{x+1} + int rac{dx}{x-5}$$ Это тоже не соответствует нашему решению. Таким образом, наиболее подходящим вариантом ответа является первый вариант: $$int rac{Adx}{x+1} + int rac{Bdx}{x-5}$$ где $$A = -rac{1}{6}$$ и $$B = rac{1}{6}$$.