Интеграл $$\int x \cos 2x dx$$ равен?

Для решения данного интеграла, необходимо использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле: $$\int u dv = uv - \int v du$$ В нашем случае, выберем: * $$u = x$$, тогда $$du = dx$$ * $$dv = \cos 2x dx$$, тогда $$v = \int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x$$ Подставляем в формулу интегрирования по частям: $$\int x \cos 2x dx = x(\frac{1}{2} \sin 2x) - \int \frac{1}{2} \sin 2x dx$$ $$\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x dx$$ Теперь нужно найти интеграл от $$\sin 2x$$: $$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$$ Подставляем обратно в наше уравнение: $$\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} \cos 2x) + C$$ $$\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$$ Таким образом, правильный ответ: $$\frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$$