11) Исполнитель Черепаха перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполни- теля и направление его движения. У исполнителя существует две команды: вперёд(п) (где п - целое число), вызывающая передвижение Черепашки на п шагов в направлении движения; вправо(m) (где т целое число), вызывающая изменение направления дви- жения на т градусов по часовой стрелке. Запись повтори к [команда1 команда 2 команда3] означает, что последова- тельность команд в скобках повторится к раз. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опу- щен. Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: повтори 8 [вперёд (2) вправо (45)] Постройте многоугольник в среде исполнителя «Черепаха» программы Кумир и посчитайте количество точек с целыми координатами, которые находятся внутри фигуры (точки на границе считать не нужно). Ответ:

Решение: 1. Определение формы многоугольника: Команда `повтори 8 [вперёд (2) вправо (45)]` выполняется 8 раз. Каждый раз Черепаха проходит 2 единицы вперёд и поворачивается на 45 градусов вправо. Суммарный угол поворота равен ( 8 imes 45 = 360 ) градусов. Это означает, что Черепаха возвращается в исходную точку, образуя замкнутую фигуру. Поскольку углы поворота равны, а расстояния между вершинами одинаковы, фигура является правильным восьмиугольником (октагоном). 2. Координаты вершин восьмиугольника: Начальное положение Черепахи: (0, 0), направление - вверх (вдоль оси ординат). Обозначим вершины восьмиугольника как (V_0, V_1, ..., V_7). * (V_0 = (0, 0)) * (V_1 = (0, 2)) * (V_2): После поворота на 45 градусов Черепаха идет вперёд на 2. Координаты (V_2) можно найти, используя тригонометрию: * (x_2 = 2 cdot sin(45^circ) = 2 cdot rac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}) * (y_2 = 2 + 2 cdot cos(45^circ) = 2 + 2 cdot rac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}) (V_2 = (\sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})) * (V_3): После поворота на 90 градусов от начального направления: * (x_3 = 2 + \sqrt{2}) * (y_3 = 2 + \sqrt{2}) (V_3 = (2 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})) * (V_4): После поворота на 135 градусов от начального направления: * (x_4 = 2 + 2\sqrt{2}) * (y_4 = 2) (V_4 = (2 + 2\sqrt{2}, 2)) * (V_5): После поворота на 180 градусов от начального направления: * (x_5 = 2 + 2\sqrt{2}) * (y_5 = 0) (V_5 = (2 + 2\sqrt{2}, 0)) * (V_6): После поворота на 225 градусов от начального направления: * (x_6 = 2 + \sqrt{2}) * (y_6 = -\sqrt{2}) (V_6 = (2 + \sqrt{2}, -\sqrt{2})) * (V_7): После поворота на 270 градусов от начального направления: * (x_7 = \sqrt{2}) * (y_7 = -\sqrt{2}) (V_7 = (\sqrt{2}, -\sqrt{2})) 3. Оценка целочисленных точек внутри восьмиугольника: Определить точное количество целочисленных точек внутри восьмиугольника аналитически достаточно сложно из-за иррациональных координат вершин. Однако можно оценить. Приблизительные координаты: * (V_0 = (0, 0)) * (V_1 = (0, 2)) * (V_2 \approx (1.4, 3.4)) * (V_3 \approx (3.4, 3.4)) * (V_4 \approx (4.8, 2)) * (V_5 \approx (4.8, 0)) * (V_6 \approx (3.4, -1.4)) * (V_7 \approx (1.4, -1.4)) По этим координатам можно представить восьмиугольник и оценить количество целочисленных точек внутри. Целочисленные точки внутри: (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1) Всего 12 точек. Ответ: 12