4. Используя формулу для определения давления столба жидкости р = pgh, докажите, что в сообщающихся со- судах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями (см. рис. 123) равно обратному отноше- нию плотностей.

В сообщающихся сосудах давление на одном уровне должно быть одинаковым. Рассмотрим две жидкости с плотностями $$ρ_1$$ и $$ρ_2$$ и высотами столбов $$h_1$$ и $$h_2$$. Давление столба жидкости определяется формулой $$p = \rho gh$$, где $$g$$ — ускорение свободного падения.

Для первого сосуда: $$p_1 = \rho_1 g h_1$$.

Для второго сосуда: $$p_2 = \rho_2 g h_2$$.

Так как давления на одном уровне равны, то $$p_1 = p_2$$.

Следовательно, $$\\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$$.

Ускорение свободного падения $$g$$ одинаково для обоих сосудов, поэтому его можно сократить: $$\\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$$.

Теперь выразим отношение высот: $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$.

Получаем, что отношение высот столбов жидкостей обратно пропорционально отношению их плотностей.

Ответ: Отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями в сообщающихся сосудах обратно пропорционально отношению плотностей, что и требовалось доказать.