6*. В два сосуда налито разное количество воды (рис. 126). В каком сосуде давление воды на дно больше и на сколько, если h₁ = 48 см, а h₂ = 14 см? Какой уровень воды установится в сосудах после того, как кран откроют, если диаметры сосудов различаются в 4 раза?

Давление воды на дно сосуда определяется формулой $$p = \rho gh$$, где $$p$$ — давление, $$ρ$$ — плотность воды, $$g$$ — ускорение свободного падения, $$h$$ — высота столба воды.

Для первого сосуда (h₁ = 48 см):

$$p_1 = \rho g h_1 = \rho g \cdot 0.48 \text{ м}$$.

Для второго сосуда (h₂ = 14 см):

$$p_2 = \rho g h_2 = \rho g \cdot 0.14 \text{ м}$$.

Разница в давлении:

$$\Delta p = p_1 - p_2 = \rho g \cdot (0.48 - 0.14) = \rho g \cdot 0.34 \text{ м}$$.

Так как $$h_1 > h_2$$, давление в первом сосуде больше.

Чтобы найти, какой уровень воды установится после открытия крана, учитываем, что общий объем воды перераспределится между сосудами. Обозначим конечную высоту воды в узком сосуде как $$h$$. Так как диаметры сосудов различаются в 4 раза, площадь сечения узкого сосуда в 16 раз меньше площади сечения широкого сосуда (поскольку площадь пропорциональна квадрату диаметра). Объем воды в узком сосуде: $$V_1 = A_1 h$$, где $$A_1$$ — площадь сечения узкого сосуда. Объем воды в широком сосуде: $$V_2 = A_2 h$$, где $$A_2$$ — площадь сечения широкого сосуда.

Общий объем воды: $$V = A_1 h_1 + A_2 h_2 = A_1 \cdot 48 + 16 A_1 \cdot 14 = A_1 \cdot (48 + 16 \cdot 14) = A_1 \cdot (48 + 224) = 272 A_1$$.

После открытия крана общий объем воды распределится так:

$$V = A_1 h + A_2 h = A_1 h + 16 A_1 h = 17 A_1 h$$.

Приравниваем объемы: $$272 A_1 = 17 A_1 h$$.

Отсюда $$h = \frac{272}{17} = 16 \text{ см}$$.

Это высота в узком сосуде. Высота в широком сосуде останется такой же, поскольку они соединены у основания.

Давление в первом сосуде больше на $$ρg \cdot 0.34 \text{ м}$$. После открытия крана уровень воды установится на отметке 16 см.

Ответ: Давление больше в первом сосуде на $$ρg \cdot 0.34 \text{ м}$$. Уровень воды установится на 16 см.