4. Используя формулу для определения давления столба жидкости p = pgh, докажите, что в сообщающихся со- судах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями (см. рис. 123) равно обратному отноше нию плотностей.

В сообщающихся сосудах давление на одном уровне должно быть одинаковым. Рассмотрим две жидкости с плотностями $$ρ_1$$ и $$ρ_2$$ и высотами столбов $$h_1$$ и $$h_2$$, соответственно. Давление в обеих жидкостях на одном и том же уровне будет одинаковым:

$$p_1 = p_2$$

Используя формулу для давления столба жидкости $$p = ρgh$$, получаем:

$$ρ_1gh_1 = ρ_2gh_2$$

где g - ускорение свободного падения.

Сокращая g, получаем:

$$ρ_1h_1 = ρ_2h_2$$

Теперь выразим отношение высот столбов жидкостей:

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{ρ_2}{ρ_1}$$

Таким образом, отношение высот столбов жидкостей обратно пропорционально отношению их плотностей.

Ответ: отношение высот столбов жидкостей обратно пропорционально отношению их плотностей.