Используя формулы сокращенного умножения для (a + b)² и (a – b)², вычислите: a) 49²; б) (19 ⁵⁄₁₉)².

Вычисление с использованием формул квадрата суммы и разности:

Используем формулы \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) и \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

• а) \( 49^2 \):

Можно представить 49 как \( 50 - 1 \).

\( 49^2 = (50 - 1)^2 = 50^2 - 2 4 50 4 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401 \).

• б) \( (19 \frac{5}{19})^2 \):

Запишем смешанное число в виде неправильной дроби: \( 19 \frac{5}{19} = \frac{19 4 19 + 5}{19} = \frac{361 + 5}{19} = \frac{366}{19} \).

Теперь возведём в квадрат:

\( \big( \frac{366}{19} \big)^2 = \frac{366^2}{19^2} \).

Вычислим \( 366^2 \): \( 366^2 = 133956 \).

Вычислим \( 19^2 \): \( 19^2 = 361 \).

\( \frac{133956}{361} \).

Выполним деление:

\( 133956 : 361 = 371.069... \). Это число не является целым, что может указывать на то, что задание предполагает другое применение формулы или опечатку. Если бы мы хотели получить целое число, то, возможно, имелось в виду \( (20 - \frac{14}{19})^2 \) или похожее.

Однако, следуя условию, выполним вычисление:

\( \big( 19 \frac{5}{19} \big)^2 = \big( \frac{366}{19} \big)^2 = \frac{133956}{361} \).

Если требуется представить в виде смешанного числа:

\( 133956 4 361 = 371 \) с остатком \( 133956 - 361 4 371 = 133956 - 133931 = 25 \).

Таким образом, \( \frac{133956}{361} = 371 \frac{25}{361} \).

Ответ: а) 2401; б) \( \frac{133956}{361} \) или \( 371 \frac{25}{361} \).