019.80. Используя график функции \( y = \frac{6}{x + 2} - 1 \):

Разбираемся:

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Общий вид гиперболы \( y = \frac{k}{x - a} + b \), где \( (a, b) \) — центр симметрии, \( x = a \) — вертикальная асимптота, \( y = b \) — горизонтальная асимптота.

Пошаговое решение:

• а) Найдите значения аргумента, при которых \( y = 0 \), \( y > 0 \), \( y < 0 \)
  \( y = 0 \): Решаем уравнение \( \frac{6}{x + 2} - 1 = 0 \).
  \( \frac{6}{x + 2} = 1 \)
  \( 6 = x + 2 \)
  \( x = 4 \)
  Значит, при \( x = 4 \) функция равна нулю.
  
  \( y > 0 \): \( \frac{6}{x + 2} - 1 > 0 \) => \( \frac{6}{x + 2} > 1 \).
  Рассмотрим два случая:
  1) \( x + 2 > 0 \) (т.е. \( x > -2 \)): \( 6 > x + 2 \) => \( x < 4 \). Объединяя \( x > -2 \) и \( x < 4 \), получаем \( (-2, 4) \).
  2) \( x + 2 < 0 \) (т.е. \( x < -2 \)): \( 6 < x + 2 \) (знак неравенства меняется) => \( x > 4 \). Это противоречит условию \( x < -2 \), поэтому этот случай не дает решений.
  Итак, \( y > 0 \) при \( x ∈ (-2, 4) \).
  
  \( y < 0 \): Из предыдущего пункта следует, что \( y < 0 \) при \( x ∈ (-∞, -2) \) и \( x ∈ (4, +∞) \).
• б) Определите промежутки убывания функции
  Для гиперболы вида \( y = \frac{k}{x - a} + b \) с \( k > 0 \) промежутки убывания — это вся область определения, кроме точки разрыва. В нашем случае \( k = 6 > 0 \), поэтому функция убывает на всей своей области определения.
  Область определения: \( (-∞, -2) \) и \( (-2, +∞) \).
  Промежутки убывания: \( (-∞, -2) \) и \( (-2, +∞) \).
• в) Укажите центр симметрии гиперболы
  Центр симметрии гиперболы \( y = \frac{k}{x - a} + b \) находится в точке \( (a, b) \). В нашей функции \( y = \frac{6}{x - (-2)} + (-1) \), поэтому \( a = -2 \) и \( b = -1 \).
  Центр симметрии: \( (-2, -1) \).
• г) Напишите уравнения асимптот гиперболы
  Вертикальная асимптота: \( x = a \). В нашем случае \( x = -2 \).
  Горизонтальная асимптота: \( y = b \). В нашем случае \( y = -1 \).