Для начала определим степени окисления каждого элемента в реакции:
$$\mathrm{Fe(OH)_3 + KOH + Br_2 \rightarrow K_2FeO_4 + KBr + H_2O}$$
$$\mathrm{Fe^{+3}(OH)_3 + K^{+1}OH^{-2} + Br_2^0 \rightarrow K_2^{+1}Fe^{+6}O_4^{-2} + K^{+1}Br^{-1} + H_2^{+1}O^{-2}}$$
Теперь можно составить электронный баланс:
$$\mathrm{Fe^{+3} - 3e^- \rightarrow Fe^{+6} \qquad | \times 2 \qquad окисление, Fe(OH)_3 - восстановитель}$$
$$\mathrm{Br_2^0 + 2e^- \rightarrow 2Br^{-1} \qquad | \times 3 \qquad восстановление, Br_2 - окислитель}$$
Расставляем коэффициенты, учитывая электронный баланс:
$$\mathrm{2Fe(OH)_3 + 10KOH + 3Br_2 \rightarrow 2K_2FeO_4 + 6KBr + 8H_2O}$$
Ответ:
$$\mathrm{2Fe(OH)_3 + 10KOH + 3Br_2 \rightarrow 2K_2FeO_4 + 6KBr + 8H_2O}$$
Окислитель: $$\mathrm{Br_2}$$
Восстановитель: $$\mathrm{Fe(OH)_3}$$