578 Используя утверждение 20, п. 63, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом 2 2 2 С выполняется равенство АС² + BC² = AB². Решение Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На основе утверждения 20

Докажем теорему Пифагора, используя утверждение 20, п. 63:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C выполняется равенство $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.

Решение:

1. Пусть CD - высота треугольника ABC, проведенная из прямого угла C к гипотенузе AB.

2. Известно, что $$AC^2 = AD \cdot AB$$ (по утверждению 20, п. 63), где AD - проекция катета AC на гипотенузу AB.

3. Аналогично, $$BC^2 = BD \cdot AB$$, где BD - проекция катета BC на гипотенузу AB.

4. Сложим эти два равенства:

   $$AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB$$

5. Вынесем AB за скобки:

   $$AC^2 + BC^2 = AB \cdot (AD + BD)$$

6. Так как AD + BD = AB, то:

   $$AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB$$

   $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

Ответ: Теорема Пифагора доказана: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.