575 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3х и 4х.

Тогда гипотенуза равна $$c = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x$$.

По условию гипотенуза равна 50 мм, следовательно, 5х = 50 мм, откуда х = 10 мм.

Катеты равны 3х = 30 мм и 4х = 40 мм.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$$ мм^2.

Также площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2}ch$$, отсюда $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24$$ мм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом а = 30 мм и высотой h = 24 мм, проведенной к гипотенузе. Проекция $$a_c = \sqrt{a^2 - h^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$$ мм.

Отрезок, на который делится гипотенуза высотой, равен 50 мм - 18 мм = 32 мм.

Ответ: 18 мм и 32 мм.