Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: a) $$x^2 - 6x + 15 > 0$$; б) $$a^2 - 8a + 19 > 0$$; в) $$y^2 > 4y - 5$$; г) $$8b - 18 < b^2$$.

Давай докажем каждое из неравенств, используя выделение полного квадрата:

а) $$x^2 - 6x + 15 > 0$$

1. Выделим полный квадрат: $$x^2 - 6x + 9 + 6 > 0$$
2. Преобразуем: $$(x - 3)^2 + 6 > 0$$
3. Так как $$(x - 3)^2$$ всегда неотрицательно (квадрат любого числа), а $$6 > 0$$, то сумма всегда будет больше нуля.

Следовательно, неравенство доказано.

б) $$a^2 - 8a + 19 > 0$$

1. Выделим полный квадрат: $$a^2 - 8a + 16 + 3 > 0$$
2. Преобразуем: $$(a - 4)^2 + 3 > 0$$
3. Так как $$(a - 4)^2$$ всегда неотрицательно, а $$3 > 0$$, то сумма всегда будет больше нуля.

Следовательно, неравенство доказано.

в) $$y^2 > 4y - 5$$

1. Преобразуем неравенство: $$y^2 - 4y + 5 > 0$$
2. Выделим полный квадрат: $$y^2 - 4y + 4 + 1 > 0$$
3. Преобразуем: $$(y - 2)^2 + 1 > 0$$
4. Так как $$(y - 2)^2$$ всегда неотрицательно, а $$1 > 0$$, то сумма всегда будет больше нуля.

Следовательно, неравенство доказано.

г) $$8b - 18 < b^2$$

1. Преобразуем неравенство: $$b^2 - 8b + 18 > 0$$
2. Выделим полный квадрат: $$b^2 - 8b + 16 + 2 > 0$$
3. Преобразуем: $$(b - 4)^2 + 2 > 0$$
4. Так как $$(b - 4)^2$$ всегда неотрицательно, а $$2 > 0$$, то сумма всегда будет больше нуля.

Следовательно, неравенство доказано.