Исследование функции и построение графика

1) $$y = -x^2$$

Область определения: Все действительные числа, $$x in (-infty, infty)$$.

Множество значений: Все неотрицательные числа, $$y in (-infty, 0]$$.

Четность/нечетность: Функция четная, так как $$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f(x)$$. График симметричен относительно оси y.

Пересечение с осями: Пересечение с осью x: $$y = 0$$ при $$x = 0$$. Пересечение с осью y: $$x = 0$$ при $$y = 0$$.

Производная: $$y' = -2x$$.

Критические точки: $$y' = 0$$ при $$x = 0$$.

Интервалы возрастания и убывания: Функция возрастает на интервале $$(-infty, 0)$$ и убывает на интервале $$(0, infty)$$.

Экстремумы: В точке $$x = 0$$ функция имеет максимум, $$y(0) = 0$$.

График: Парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 0).

2) $$y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$$

Область определения: Все действительные числа, кроме 0, $$x in (-infty, 0) cup (0, infty)$$.

Множество значений: Все действительные числа, кроме 0, $$y in (-infty, 0) cup (0, infty)$$.

Четность/нечетность: Функция нечетная, так как $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -\frac{1}{x^3} = -f(x)$$. График симметричен относительно начала координат.

Пересечение с осями: Не пересекает оси x и y.

Производная: $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$.

Критические точки: Нет критических точек.

Интервалы возрастания и убывания: Функция убывает на интервалах $$(-infty, 0)$$ и $$(0, infty)$$.

Экстремумы: Нет экстремумов.

График: Гипербола.

3) $$y = -\frac{1}{x}$$

Область определения: Все действительные числа, кроме 0, $$x in (-infty, 0) cup (0, infty)$$.

Множество значений: Все действительные числа, кроме 0, $$y in (-infty, 0) cup (0, infty)$$.

Четность/нечетность: Функция нечетная, так как $$f(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -f(x)$$. График симметричен относительно начала координат.

Пересечение с осями: Не пересекает оси x и y.

Производная: $$y' = \frac{1}{x^2}$$.

Критические точки: Нет критических точек.

Интервалы возрастания и убывания: Функция возрастает на интервалах $$(-infty, 0)$$ и $$(0, infty)$$.

Экстремумы: Нет экстремумов.

График: Гипербола.

4) $$y = \frac{1}{x^2}$$

Область определения: Все действительные числа, кроме 0, $$x in (-infty, 0) cup (0, infty)$$.

Множество значений: Все положительные числа, $$y in (0, infty)$$.

Четность/нечетность: Функция четная, так как $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$$. График симметричен относительно оси y.

Пересечение с осями: Не пересекает оси x и y.

Производная: $$y' = -\frac{2}{x^3}$$.

Критические точки: Нет критических точек.

Интервалы возрастания и убывания: Функция возрастает на интервале $$(-infty, 0)$$ и убывает на интервале $$(0, infty)$$.

Экстремумы: Нет экстремумов.

График: Функция похожа на гиперболу, но всегда положительная.