Итоговая контрольная работа по геометрии за курс 8 класса Вариант 2 1. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника. 2. Найди острый угол параллелограмма ABC D, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 20°. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии. 4. Пожарную лестницу приставили к окну расположенному на высоте 12м. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы?

1. Площадь прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если катеты равны 4 и 11, то площадь можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

где $$a$$ и $$b$$ - длины катетов.

В нашем случае:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22$$

Ответ: Площадь треугольника равна 22.

2. Острый угол параллелограмма:

Пусть дан параллелограмм ABCD, и биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Угол между биссектрисой AE и стороной BC равен 20° (∠AEC = 20°).

Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD.

Поскольку BC || AD, то ∠EAD = ∠AEB как внутренние накрест лежащие углы.

Тогда ∠AEB = ∠BAE, и треугольник ABE - равнобедренный (AB = BE).

В треугольнике ABE, ∠AEB = ∠AEC = 20°. Следовательно, ∠BAE = 20°.

Тогда ∠A = 2 * ∠BAE = 2 * 20° = 40°.

Ответ: Острый угол параллелограмма равен 40°.

3. Длина средней линии трапеции:

На рисунке изображена трапеция на клетчатой бумаге. Чтобы найти длину средней линии трапеции, нужно сложить длины оснований и разделить полученную сумму на 2.

Посчитаем количество клеток вдоль каждого основания. Одно основание состоит из 3 клеток, другое - из 7 клеток.

Так как размер клетки 1x1, то длины оснований равны 3 и 7.

Средняя линия трапеции равна:

$$m = \frac{a + b}{2}$$

где $$a$$ и $$b$$ - длины оснований трапеции.

$$m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Ответ: Длина средней линии трапеции равна 5.

4. Длина лестницы:

Пожарная лестница, стена и расстояние от стены до нижнего конца лестницы образуют прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится окно, - это один катет (12 м), расстояние от стены до нижнего конца лестницы - другой катет (5 м). Длина лестницы - это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

где $$c$$ - длина гипотенузы (лестницы), $$a$$ и $$b$$ - катеты.

В нашем случае:

$$c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$

$$c = \sqrt{169} = 13$$

Ответ: Длина лестницы равна 13 м.