Иван Денисович написал на доске 8 последовательных натуральных чисел. Затем он закрыл некоторые числа треугольниками, некоторые – квадратами, а одно число кругом. Сумма чисел под треугольниками равна сумме чисел под квадратами, а число под кругом составляет четверть этой суммы. Какое число скрыто под кругом, если известно, что общая сумма всех чисел меньше 100?

Пусть первое из восьми последовательных натуральных чисел равно n, тогда восемь последовательных чисел: n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7. Сумма этих чисел равна: n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7) = 8n + 28 По условию, 8n + 28 < 100, отсюда 8n < 72, n < 9. Так как сумма чисел под треугольниками равна сумме чисел под квадратами, обозначим эту сумму через S. Число под кругом составляет четверть этой суммы, то есть S/4. Тогда общая сумма всех чисел равна S + S + S/4 = 2S + S/4 = 9S/4. Таким образом, 8n + 28 = 9S/4, или 32n + 112 = 9S. Это означает, что 32n + 112 должно делиться на 9. Проверим возможные значения n от 1 до 8: Если n=1, то 32n + 112 = 144, что делится на 9. Если n=2, то 32n + 112 = 176, что не делится на 9. Если n=3, то 32n + 112 = 208, что не делится на 9. Если n=4, то 32n + 112 = 240, что не делится на 9. Если n=5, то 32n + 112 = 272, что не делится на 9. Если n=6, то 32n + 112 = 304, что не делится на 9. Если n=7, то 32n + 112 = 336, что не делится на 9. Если n=8, то 32n + 112 = 368, что не делится на 9. Только при n=1 выражение 32n + 112 делится на 9. Тогда S = 144/9 = 16. Число под кругом равно S/4 = 16/4 = 4. Ответ: Г) 4