Решение домашнего задания:

1. Букеты из роз

Чтобы определить, какое максимальное количество одинаковых букетов можно составить, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 48, 36 и 24.

Разложим числа на простые множители:

• 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = $$2^4 \times 3$$
• 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = $$2^2 \times 3^2$$
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = $$2^3 \times 3$$

НОД(48, 36, 24) = $$2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$$. Значит, можно составить 12 букетов.

Теперь найдем, сколько роз каждого цвета будет в одном букете:

• Бордовые розы: 48 ÷ 12 = 4 розы
• Розовые розы: 36 ÷ 12 = 3 розы
• Белые розы: 24 ÷ 12 = 2 розы

Ответ: Получится 12 букетов, в каждом букете будет 4 бордовые розы, 3 розовые розы и 2 белые розы.

2. Самолеты в аэропорту

Чтобы найти, через какое наименьшее время самолеты окажутся в аэропорту одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 6, 8 и 9.

Разложим числа на простые множители:

• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2 = $$2^3$$
• 9 = 3 × 3 = $$3^2$$

НОК(6, 8, 9) = $$2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$$.

Ответ: Через 72 часа самолеты одновременно окажутся в аэропорту.

3. Разложение числа 5850 на простые множители

Разложим число 5850 на простые множители:

5850 = 2 × 2925 = 2 × 3 × 975 = 2 × 3 × 3 × 325 = 2 × 3 × 3 × 5 × 65 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 13

5850 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 13 = $$2 \times 3^2 \times 5^2 \times 13$$

Ответ: 5850 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 13

4. Доказательство взаимной простоты чисел 864 и 875

Чтобы доказать, что числа 864 и 875 взаимно простые, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Разложим числа на простые множители:

• 864 = 2 × 432 = 2 × 2 × 216 = 2 × 2 × 2 × 108 = 2 × 2 × 2 × 2 × 54 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = $$2^5 \times 3^3$$
• 875 = 5 × 175 = 5 × 5 × 35 = 5 × 5 × 5 × 7 = $$5^3 \times 7$$

У чисел 864 и 875 нет общих простых множителей.

Ответ: Следовательно, НОД(864, 875) = 1, и числа 864 и 875 взаимно простые.