Из двух посёлков, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста составляла \(\frac{7}{8}\) скорости второго. Найдите скорость каждого велосипедиста, если они встретились через \(\frac{2}{3}\) ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, скорость второго велосипедиста \(13\frac{5}{7}\) км/ч

Решение:

Пусть скорость первого велосипедиста равна v1 км/ч, а скорость второго велосипедиста равна v2 км/ч.

Из условия задачи известно, что расстояние между посёлками составляет 30 км, и они встретились через \(\frac{2}{3}\) часа.

Тогда общая скорость (скорость сближения) равна:

\[v_{общая} = \frac{расстояние}{время} = \frac{30}{\frac{2}{3}} = 30 \cdot \frac{3}{2} = 45 \text{ км/ч}\]

Также известно, что скорость первого велосипедиста составляет \(\frac{7}{8}\) скорости второго, то есть:

\[v_1 = \frac{7}{8}v_2\]

Сумма скоростей первого и второго велосипедистов равна общей скорости:

\[v_1 + v_2 = 45\]

Подставим выражение для v1 в это уравнение:

\[\frac{7}{8}v_2 + v_2 = 45\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{7}{8}v_2 + \frac{8}{8}v_2 = 45\]

\[\frac{15}{8}v_2 = 45\]

Теперь найдем v2:

\[v_2 = 45 \cdot \frac{8}{15} = 3 \cdot 8 = 24 \text{ км/ч}\]

Теперь найдем v1:

\[v_1 = \frac{7}{8} \cdot 24 = 7 \cdot 3 = 21 \text{ км/ч}\]

Таким образом, скорость первого велосипедиста 21 км/ч, а скорость второго велосипедиста 24 км/ч.

Проверим.

Через \(\frac{2}{3}\) часа первый проедет \(21 \cdot \frac{2}{3} = 14\) км, а второй \(24 \cdot \frac{2}{3} = 16\) км, что сумме составит 30 км.

А теперь по условию задачи решим.

Первый ехал со скоростью, которая составляла \(\frac{7}{8}\) скорости второго. То есть \(v_1 = \frac{7}{8}v_2\)

Проверка.

\(v_1 = 21\) а \(v_2 = 24\), то есть \(\frac{7}{8} \cdot 24 = 21\), что верно.

ОТВЕТ: 21 км/ч скорость первого велосипедиста, 24 км/ч скорость второго.

В новом решении поправим.

Расстояние между поселками 30 км. Встретились через \(\frac{2}{3}\) часа.

Пусть скорость второго велосипедиста = х, тогда скорость первого \(\frac{7}{8}x\).

Тогда составим уравнение: \(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8}x = 30\)

Упростим \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{12}x = 30\)

Приведем к общему знаменателю \(\frac{8}{12}x + \frac{7}{12}x = 30\)

Тогда \(\frac{15}{12}x = 30\)

x = 30 : \(\frac{15}{12}\) = \(30 \cdot \frac{12}{15}\) = \(2 \cdot 12 = 24\)

Тогда скорость второго равна 24 км/ч, а скорость первого \(\frac{7}{8} \cdot 24 = 21\) км/ч.

Проверим: \(\frac{2}{3} \cdot 24 + \frac{2}{3} \cdot 21 = 16 + 14 = 30\)

Ответ: Скорость первого велосипедиста 21 км/ч, скорость второго велосипедиста 24 км/ч

Ответ: Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, скорость второго велосипедиста \(13\frac{5}{7}\) км/ч