Из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через 2 1/3 ч вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в 1 4/9 раза больше скорости автобуса. На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда? Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус? С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через 3 1/2 ч?

1. Шаг 1: Найдем скорость автомобиля

   Автомобиль едет в 1 \( \frac{4}{9} \) раза быстрее автобуса, значит, его скорость:

   \[54 \cdot 1 \frac{4}{9} = 54 \cdot \frac{13}{9} = 6 \cdot 13 = 78 \text{ км/ч}\]

2. Шаг 2: Найдем время, которое автобус был в пути до выезда автомобиля

   Автобус выехал на \(2 \frac{1}{3}\) часа раньше, то есть:

   \[2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \text{ часа}\]

3. Шаг 3: Найдем расстояние, которое проехал автобус до выезда автомобиля

   Расстояние, которое проехал автобус до выезда автомобиля, составляет:

   \[54 \cdot \frac{7}{3} = 18 \cdot 7 = 126 \text{ км}\]

4. Шаг 4: Найдем время, которое автомобиль и автобус были в пути после выезда автомобиля

   Время, которое автомобиль и автобус были в пути после выезда автомобиля, составляет 1 час 45 минут, то есть:

   \[1 \frac{45}{60} = 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \text{ часа}\]

5. Шаг 5: Найдем расстояние, которое проехал автобус за это время

   Расстояние, которое проехал автобус за это время, составляет:

   \[54 \cdot \frac{7}{4} = \frac{378}{4} = 94.5 \text{ км}\]

6. Шаг 6: Найдем расстояние, которое проехал автомобиль за это время

   Расстояние, которое проехал автомобиль за это время, составляет:

   \[78 \cdot \frac{7}{4} = \frac{546}{4} = 136.5 \text{ км}\]

7. Шаг 7: Найдем расстояние между автомобилем и автобусом через 1 час 45 минут после выезда автомобиля

   Расстояние между автомобилем и автобусом через 1 час 45 минут после выезда автомобиля составляет:

   \[126 + 94.5 - 136.5 = 84 \text{ км}\]

8. Шаг 8: Найдем время, через которое автомобиль догонит автобус

   Автомобиль догонит автобус через время, равное отношению расстояния между ними к разности их скоростей:

   \[\frac{126}{78 - 54} = \frac{126}{24} = 5.25 \text{ часа}\]

   Так как автомобиль выехал через \(2 \frac{1}{3}\) часа после автобуса, то он догонит автобус через:

   \[5.25 - 2 \frac{1}{3} = 5.25 - \frac{7}{3} = \frac{21}{4} - \frac{7}{3} = \frac{63 - 28}{12} = \frac{35}{12} = 2 \frac{11}{12} \text{ часа}\]

   Переведем \( \frac{11}{12} \) часа в минуты:

   \[\frac{11}{12} \cdot 60 = 55 \text{ минут}\]

   Итак, автомобиль догонит автобус через 2 часа 55 минут после выезда автобуса или через 35 минут после выезда автомобиля.

9. Шаг 9: Найдем скорость, с которой надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через 3,5 часа

   Если автомобиль должен догнать автобус через 3,5 часа после выезда автобуса, то он должен проехать расстояние, равное расстоянию, которое проедет автобус за это время:

   \[54 \cdot 3.5 = 189 \text{ км}\]

   Автомобиль должен проехать это расстояние за время, равное 3,5 часа минус время, которое он выехал позже автобуса:

   \[3.5 - 2 \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21 - 14}{6} = \frac{7}{6} \text{ часа}\]

   Тогда скорость, с которой надо ехать автомобилю, равна:

   \[\frac{189}{\frac{7}{6}} = \frac{189 \cdot 6}{7} = 27 \cdot 6 = 162 \text{ км/ч}\]

Из решения выше есть ошибка, по условию задачи надо найти какой должна быть скорость автомобиля, чтобы он догнал автобус через 3.5 часа, если он уже ехал какое-то время с большей скоростью. Найдем за какое время автомобиль догонит автобус:

1. Шаг 1: Время до встречи

   Пусть t — время в пути автомобиля до встречи с автобусом. Тогда уравнение расстояний будет:

   \(54 \cdot (\frac{7}{3} + t) = 78 \cdot t\)

   Решаем уравнение:

   \(54 \cdot \frac{7}{3} + 54t = 78t\)

   \(126 = 24t\)

   \(t = \frac{126}{24} = 5.25\) часа

2. Шаг 2: Новое время и расстояние

   Автомобиль должен догнать автобус через 3.5 часа после выезда автобуса, значит, \(t_{new} = 3.5 - \frac{7}{3} = \frac{21 - 14}{6} = \frac{7}{6}\) часа (время в пути автомобиля).

   За это время автобус проедет \(54 \cdot 3.5 = 189\) км.

3. Шаг 3: Необходимая скорость

   Скорость автомобиля должна быть \(V = \frac{189}{\frac{7}{6}} = \frac{189 \cdot 6}{7} = 27 \cdot 6 = 162\) км/ч.

   Но! Автомобиль уже ехал со скоростью 78 км/ч. Время, которое он ехал до того, как поменял скорость: \(\frac{7}{6}\) часа.

4. Шаг 4: Расстояние, пройденное с начальной скоростью

   Пусть x — искомая скорость. Тогда, если \(t = \frac{7}{6}\) часа, то путь, пройденный автомобилем со скоростью 78 км/ч, равен: \(78 \cdot \frac{7}{6} = 91\) км.

5. Шаг 5: Уравнение для новой скорости

   Оставшийся путь: \(189 - 91 = 98\) км. Новое время: \(\frac{7}{6}\) часа.

   Уравнение: \(91 + x \cdot \frac{7}{6} = 189\)

   Решаем уравнение:

   \(x \cdot \frac{7}{6} = 98\)

   \(x = \frac{98 \cdot 6}{7} = 14 \cdot 6 = 84\) км/ч