5. Из натуральных чисел от 10 до 99 выбирают два различных случайных числа. Найдите вероятность события «разность выбранных чисел делится на 3».

Всего натуральных чисел от 10 до 99: 90

Вероятность события «разность выбранных чисел делится на 3»:

1) Общее количество способов выбрать два числа из 90:

$$C_{90}^2 = \frac{90!}{2!(90-2)!} = \frac{90!}{2!88!} = \frac{90 \cdot 89}{2} = 45 \cdot 89 = 4005$$

2) Числа от 10 до 99 можно разделить на три группы в зависимости от остатка от деления на 3:

• Дают остаток 0: 12, 15, ..., 99 (30 чисел)
• Дают остаток 1: 10, 13, ..., 97 (30 чисел)
• Дают остаток 2: 11, 14, ..., 98 (30 чисел)

Чтобы разность двух чисел делилась на 3, нужно, чтобы оба числа давали одинаковый остаток при делении на 3. То есть, либо оба числа из первой группы, либо оба из второй, либо оба из третьей.

Количество способов выбрать два числа из каждой группы:

$$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2!28!} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 15 \cdot 29 = 435$$

Так как три группы, то всего благоприятных исходов:

$$3 \cdot 435 = 1305$$

Вероятность того, что разность выбранных чисел делится на 3:

$$P = \frac{1305}{4005} = \frac{87}{267} = \frac{29}{89} \approx 0.3258$$

Ответ: 29/89