6. Из пункта А в направлении пункта В выехал первый велосипедист со скоростью 12 \(\frac{2}{3}\) км/ч. Одновременно из пункта В в том же направлении выехал второй вело- сипедист, скорость которого в 1 \(\frac{16}{41}\) раза меньше скоро сти первого. Через сколько часов после начала движе ния первый велосипедист догонит второго, если рас стояние между пунктами А и В равно 8 км?

Решим задачу.

1. Пусть x - время, через которое первый велосипедист догонит второго.
2. Тогда первый велосипедист проедет расстояние:
3. \(S_1 = 12\frac{2}{3}x = \frac{38}{3}x\)
4. Второй велосипедист проедет расстояние:
5. Найдем скорость второго велосипедиста.
6. \(1\frac{16}{41} = \frac{1 \cdot 41 + 16}{41} = \frac{41+16}{41} = \frac{57}{41}\)
7. Так как скорость второго велосипедиста в \(\frac{57}{41}\) раза меньше, то чтобы её найти нужно скорость первого велосипедиста разделить на \(\frac{57}{41}\):
8. \(12\frac{2}{3}:\frac{57}{41} = \frac{38}{3}:\frac{57}{41} = \frac{38}{3} \cdot \frac{41}{57} = \frac{38 \cdot 41}{3 \cdot 57} = \frac{2 \cdot 41}{3 \cdot 3} = \frac{82}{9} = 9\frac{1}{9}\)
9. \(S_2 = 9\frac{1}{9}x = \frac{82}{9}x\)
10. Зная, что расстояние между пунктами А и В равно 8 км, можем записать, что разница между расстояниями, которые проедут первый и второй велосипедисты, равна 8 км:
11. \(S_1 - S_2 = 8\)
12. \(\frac{38}{3}x - \frac{82}{9}x = 8\)
13. \(\frac{38 \cdot 3}{3 \cdot 3}x - \frac{82}{9}x = 8\)
14. \(\frac{114}{9}x - \frac{82}{9}x = 8\)
15. \(\frac{32}{9}x = 8\)
16. \(x = 8 : \frac{32}{9}\)
17. \(x = 8 \cdot \frac{9}{32}\)
18. \(x = \frac{8 \cdot 9}{32}\)
19. \(x = \frac{1 \cdot 9}{4}\)
20. \(x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\)

Ответ: через \(2\frac{1}{4}\) часа первый велосипедист догонит второго.