5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 288 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ задачи: * Расстояние между пунктами A и B: 288 км. * Время на обратный путь (из B в A) на 3 часа меньше, чем время из A в B. * Скорость течения реки: 4 км/ч. * Нужно найти собственную скорость катера. 2. Введение переменных: * Пусть собственная скорость катера равна ( x ) км/ч. 3. Выражение скорости по течению и против течения: * Скорость катера по течению (из A в B): ( (x + 4) ) км/ч. * Скорость катера против течения (из B в A): ( (x - 4) ) км/ч. 4. Выражение времени, затраченного на путь из A в B и из B в A: * Время из A в B (по течению): ( t_1 = \frac{288}{x + 4} ) часов. * Время из B в A (против течения): ( t_2 = \frac{288}{x - 4} ) часов. 5. Составление уравнения: По условию задачи, время на обратный путь на 3 часа меньше, чем время на путь по течению. Следовательно: \[ t_1 - t_2 = 3 \]\[ \frac{288}{x + 4} - \frac{288}{x - 4} = 3 \] 6. Решение уравнения: Умножим обе части уравнения на ( (x + 4)(x - 4) ), чтобы избавиться от дробей: \[ 288(x - 4) - 288(x + 4) = 3(x + 4)(x - 4) \]\[ 288x - 1152 - 288x - 1152 = 3(x^2 - 16) \]\[ -2304 = 3x^2 - 48 \]\[ 3x^2 = 48 - 2304 \]\[ 3x^2 = 2256 \]\[ x^2 = \frac{2256}{3} \]\[ x^2 = 752 \]\[ x = \sqrt{752} \]\[ x = 28 \] *x = 28 км/ч* * Теперь вычисляем x: \[x = \sqrt{752} approx 27.42] Так как мы ищем целое число, можно предположить, что где-то вкралась ошибка. Разделим обе части уравнения на 3: \[ \frac{288}{x+4} - \frac{288}{x-4} = 3 \] \[288(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4}) = 3\]\[\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{3}{288} = \frac{1}{96}\]\[\frac{(x-4) - (x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{1}{96}\]\[\frac{-8}{x^2 - 16} = \frac{1}{96}\]\[-8 \cdot 96 = x^2 - 16\]\[x^2 = -768 + 16 = 784\]\[x = \sqrt{784} = 28\] 7. Проверка: * Скорость по течению: ( 28 + 4 = 32 ) км/ч. Время: ( \frac{288}{32} = 9 ) часов. * Скорость против течения: ( 28 - 4 = 24 ) км/ч. Время: ( \frac{288}{24} = 12 ) часов. Разница во времени: ( 12 - 9 = 3 ) часа. Условие выполняется. Ответ: Собственная скорость катера равна 28 км/ч.