4. Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АС и AD и перпендикуляр AB. Найти длины проекций этих наклонных на плоскость, если АС = 8 см, ∠ CAB = 60°, ∠ DAB = 45°.

Пусть из точки A к плоскости α проведены две наклонные AC и AD, а также перпендикуляр AB. Нужно найти длины проекций наклонных AC и AD на плоскость, то есть BC и BD, если AC = 8 см, ∠CAB = 60°, ∠DAB = 45°.

Треугольники ABC и ABD - прямоугольные, так как AB - перпендикуляр к плоскости α.

1) В прямоугольном треугольнике ABC: $$BC = AC cdot cos(\angle ACB)$$. $$angle ACB = 90^{\circ} - \angle CAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. $$BC = AC cdot cos(30^{\circ}) = 8 cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см.

2) В прямоугольном треугольнике ABD: $$BD = AD cdot cos(\angle ADB)$$. $$angle ADB = 90^{\circ} - \angle DAB = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$$. $$AD = \frac{AB}{sin(\angle ADB)}$$. Найдём AB из треугольника ABC: $$AB = AC cdot sin(\angle ACB) = 8 cdot sin(30^{\circ}) = 8 cdot \frac{1}{2} = 4$$ см.

Тогда $$AD = \frac{4}{sin(45^{\circ})} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ см.

Находим BD: $$BD = 4\sqrt{2} cdot cos(45^{\circ}) = 4\sqrt{2} cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$$ см.

Ответ: Длина проекции наклонной AC равна $$4\sqrt{3}$$ см, длина проекции наклонной AD равна 4 см.