Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АМ на 8 меньше длины отрезка МК и длина отрезка АВ = 3, AC = 8.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. Теорема о секущих Когда из точки вне окружности проведены две секущие, произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть. В нашем случае: $$AB \cdot AC = AM \cdot AK$$ 2. Обозначения и уравнения * Пусть $$AM = x$$. * Тогда $$MK = x + 8$$ (так как AM на 8 меньше MK). * Следовательно, $$AK = AM + MK = x + (x + 8) = 2x + 8$$. 3. Применение теоремы Подставим известные значения в теорему о секущих: $$3 \cdot 8 = x \cdot (2x + 8)$$ $$24 = 2x^2 + 8x$$ 4. Решение квадратного уравнения Разделим обе части уравнения на 2: $$12 = x^2 + 4x$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 4x - 12 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, нам нужны два числа, которые в сумме дают -4, а в произведении -12. Это числа 2 и -6. Тогда $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -6$$. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то $$x = 2$$. 5. Находим длины отрезков * $$AM = x = 2$$ * $$MK = x + 8 = 2 + 8 = 10$$ Ответ: Длина отрезка AM равна 2, а длина отрезка MK равна 10.