Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 36.

Пусть дана окружность с центром в точке O, из точки A к ней проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Расстояние от точки A до центра окружности O равно 36. Нам нужно найти радиус окружности. 1. Изобразим ситуацию схематично. Проведем радиусы в точки касания. Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 2. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности O, точкой касания и точкой A. Этот треугольник прямоугольный (т.к. радиус перпендикулярен касательной). Обозначим точку касания как B. Тогда треугольник ABO - прямоугольный, \(\angle ABO = 90^\circ\). 3. Угол между касательными равен 60°. Отрезок AO является биссектрисой этого угла, так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром окружности. Следовательно, \(\angle BAO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 4. Используем тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике ABO. Нам известен угол \(\angle BAO = 30^\circ\) и гипотенуза AO = 36. Мы хотим найти противолежащий катет BO, который является радиусом окружности (r). Можно воспользоваться синусом угла: \(\sin(\angle BAO) = \frac{BO}{AO}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{r}{36}\) 5. Знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), подставляем это значение в уравнение: \(\frac{1}{2} = \frac{r}{36}\) 6. Решаем уравнение относительно r: \(r = 36 \cdot \frac{1}{2}\) \(r = 18\) Таким образом, радиус окружности равен 18. Ответ: 18